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已知A、B两点的坐标分别为A(-1,0)、B(1,0),动点M满足MA+MB=
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若点C在(1)中的轨迹上,且满足△ABC为直角三角形,求点C的坐标;
(3)设经过B点的直线l与(1)中的轨迹交于P、Q两点,问是否存在这样的直线l使得△APQ为正三角形,若存在求出直线l的方程,若不存在说明理由.
【答案】分析:(1)由题意得到M点的轨迹为椭圆,求出b后直接写出轨迹方程;
(2)分A,B为直角顶点或C为直角顶点分别求C的坐标,当C为直角顶点时,利用点在椭圆上及直角三角形斜边的中线性质列式求解;
(3)利用△PAQ为正三角形求出|AP|,设出P点坐标后借助于焦半径公式可求P的坐标,从而得到直线l的方程.
解答:解:(1)∵|MA|+|MB|=>|AB|
∴M点的轨迹是以A、B为焦点,长轴为的椭圆,
由a=,c=1,得b=1,
∴动点M的轨迹方程为
(2)①以A、B为直角顶点时,点C的坐标为:
②以C为直角顶点时,设点C的坐标为(x,y),根据直角三角形的性质知:
,即:,解之得:
∴C(0,-1)或(0,1);
(3)因为△PAQ为正三角形,所以
∴|AP|=
设点P的坐标为(x1,y1),轴椭圆的第二定义知:,即
所以:
所以PQ的直线方程为:
点评:本题考查了椭圆的方程,考查了直线方程的求法,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了椭圆焦半径公式的用法,考查了学生的计算能力,是难题.
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x
2
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3x
2
,-sin
3x
2
),其中x∈[-
π
2
,0].

(Ⅰ)求|
AB
|的表达式;
(Ⅱ)若
OA
OB
=
1
3
(O为坐标原点),求tanx的值;
(Ⅲ)若f(x)=
AB
2
+4λ|
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|(λ∈R)
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