已知函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)当时,求函数
的值域;
(3)先将函数的图象向左平移
个单位得到函数
的图象,再将
的图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变,得到函数
的图象,求证:直线
与
的图象相切于
(1);(2)
;(3)详见解析
解析试题分析:(1)本小题首先需要把函数化简可得,然后根据三角函数周期公式
可求得目标函数最小正周期
;(2)首先根据
的取值范围求得
,结合正弦函数的图像可求得
,从而可求得函数的值域
;(3)首先根据函数图像的各种平移变化,可求得
,然后利用导数的几何意义求得曲线的切线方程
,从而可证明结论.
试题解析:(1)由已知可得:
故函数的最小正周期
(2)因为,所以
所以
所以
即
(3)将函数的图象向左平移
个单位得到函数
,
再将的图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变,
得到函数。
因为,
所以切线的斜率,
而切点为
所以的切线方程为
,即
所以直线与
的图象相切于
考点:1.三角函数的图像与性质;2.平移变换;3.导数的几何意义.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知真命题:“函数的图像关于点
成中心对称图形”的充要条件为“函数
是奇函数”.
(Ⅰ)将函数的图像向左平移
个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数
图像对称中心的坐标;
(Ⅱ)求函数图像对称中心的坐标;
(Ⅲ)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数
和
,使得函数
是偶函数”.判断该命题的真假,如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,且当
时,
的最小值为2.
(1)求的值,并求
的单调增区间;
(2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的
,再把所得图象向右平移
个单位,得到函数
,求方程
在区间
上的所有根之和.
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