Question

16．已知数列{a_n}中a₁=1，且$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+2}{n}$，则a_n=$\frac{n（n+1）}{2}（n∈{N}^{*}）$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式，利用累积法求得数列的通项公式．

解答 解：由$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{n+2}{n}$，得
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{5}{3}$，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{6}{4}$，…，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n}{n-2}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$（n≥2）．
累积得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2）．
∵a₁=1，∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2）．
验证n=1时，上式成立．
∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$（n∈N^*）．
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}（n∈{N}^{*}）$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．