Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅰ）求证：D点为棱BB₁的中点；
（Ⅱ）判断四棱锥A₁-B₁C₁CD和C-A₁ABD的体积是否相等，并证明．

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥A₁C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．
∵面DA₁C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁C，面DA₁C内的直线DE⊥A₁C，
∴DE⊥面AA₁C₁C．（3分）
又∵面BAC⊥面AA₁C₁C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA₁C₁C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，
故有DB∥EF，从而有EF∥AA₁，又点F是AC的中点，
所以，所以D点为棱BB₁的中点．（6分）

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，
又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，
∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）
∴
∵D为BB₁中点，
∴=（12分）
分析：（Ⅰ）过点D作DE⊥A₁C于E点，取AC的中点F，连BF，EF，推出，即可证明D点为棱BB₁的中点；
（Ⅱ）求出四棱锥A₁-B₁C₁CD的底面面积和高，再计算C-A₁ABD的体积，即可判断体积相等．
点评：本题考查平面与平面垂直的性质，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．