Question

19．过曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0\;，\;b＞0）$的左焦点F₁作曲线C₂：x²+y²=a²的切线，设切点为M，延长F₁M交曲线C₃：y²=2px（p＞0）于点N，其中C₁、C₃有一个共同的焦点，若|MF₁|=|MN|，则曲线C₁的离心率为$\frac{{\sqrt{5}\;+1}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知根据根据三角形相似，求得$\frac{丨{F}_{1}O丨}{丨{F}_{1}N丨}$=$\frac{丨{F}_{1}M丨}{丨AN丨}$，即b²=ac，则c²-a²-ac=0，由双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线C₁的右焦点F₂，作NA⊥抛物线C₂的准线于点A，
则易得：丨NF₁丨=2丨MF₁丨=2b，丨NF₂丨=2丨MO丨=2a=丨AN丨，
由Rt△F₁MO～Rt△NAF₁，则$\frac{丨{F}_{1}O丨}{丨{F}_{1}N丨}$=$\frac{丨{F}_{1}M丨}{丨AN丨}$，
∴$\frac{c}{2b}=\frac{b}{2a}$，
∴b²=ac，则c²-a²-ac=0，由e=$\frac{c}{a}$，则e²-e-1=0，e＞1
∴$e=\frac{{\sqrt{5}\;+1}}{2}$．
曲线C₁的离心率$\frac{{\sqrt{5}\;+1}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}\;+1}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，相似三角形的性质，中位线定理，考查计算能力，属于中档题．