Question

如图，在四面体ABCD中，BC⊥面ACD，DA=DC，E、F分别为AB、AC的中点．
（1）求证：直线EF∥面BCD；
（2）求证：面DEF⊥面ABC．

Answer 1

分析：（1）由三角形的中位线定理可得EF∥BC，再根据线面平行的判定定理即可证得结论．
（2）要证面面垂直，根据判定定理在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面即可；根据题意可得BC⊥DF，DF⊥AC，
于是得到DF⊥平面ABC．

解答：证明：（1）∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC．
又∵BC?平面BCD，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（2）∵DA=DC，点F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
又∵BC⊥面ACD，DF?面ACD，∴BC⊥DF，
又∵DF∩AC=F，
∴DF⊥平面ABC．
又∵DF?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABC．

点评：本题考查了线面平行和面面垂直，理解判定定理和性质定理是解决问题的关键．