Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=1，点M为PC中点，过A、M的平面α与此四棱锥的面相交，交线围成一个四边形，且平面α⊥平面PBC．

（1）在图中画出这个四边形（不必说出画法和理由）；
（2）求平面α与平面ABM所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取PB中点N，连接AN，DM，MN，

则MN∥AD，MN与AD确定平面α

（2）解：分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴建立如图直角坐标系，

∵PA=AB=2，AD=1，点M为PC中点，N为PB中点，

∴ ，

， ，

设平面AMB的法向量 ，

则由 ，取x=2，得 ．

平面α的法向量 ，

∴平面α与平面AMB所成二面角的余弦值 ．

【解析】（1）取PB中点N，连接AN，DM，MN，则MN∥AD，由公理2的推论可得平面α；（2）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴建立如图直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，进一步求得平面α与平面ABM的法向量，由法向量所成角的余弦值可得平面α与平面ABM所成锐二面角的余弦值．