分析 方程f(x)=2ax有唯一正实根,即为x2-2ax=4a2lnx即有(x-a)2=a2(4lnx+1),作出函数y=(x-a)2和y=a2(4lnx+1)的图象,发现可得它们相切时,有一个公共点,此时a>0,设出切点(m,n),运用切线的斜率相等,点满足曲线方程,解方程可得a.
解答 解:方程f(x)=2ax有唯一正实根,即为
x2-2ax=4a2lnx即有(x-a)2=a2(4lnx+1),
作出函数y=(x-a)2和y=a2(4lnx+1)的图象,
发现可得它们相切时,有一个公共点,此时a>0,
即方程有唯一正实根.
设出切点为(m,n),由y=(x-a)2的导数为y′=2(x-a),
y=a2(4lnx+1)的导数为y′=$\frac{4{a}^{2}}{x}$,
即有2(m-a)=$\frac{4{a}^{2}}{m}$,可得m=2a,
又(m-a)2=a2(4lnm+1),即有lnm=0,
解得m=1,a=$\frac{1}{2}$.
故答案为:$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查函数方程的转化思想,考查数形结合的思想方法,以及运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-3,-2$\sqrt{5}$+3) | B. | (-∞,-2$\sqrt{5}$+3) | C. | (-$\frac{1}{2}$,4-$\sqrt{17}$) | D. | (-∞,4-$\sqrt{17}$) |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [0,$\frac{\sqrt{2}}{8}$]∪($\frac{5\sqrt{2}}{8}$,1) | B. | [$\frac{\sqrt{2}}{8}$,$\frac{5\sqrt{2}}{8}$] | C. | [0,$\frac{\sqrt{2}}{8}$] | D. | [0,$\frac{5\sqrt{2}}{8}$] |
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