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1.已知函数f(x)=x2-4a2lnx,若方程f(x)=2ax有唯一正实根,则实数a=$\frac{1}{2}$.

分析 方程f(x)=2ax有唯一正实根,即为x2-2ax=4a2lnx即有(x-a)2=a2(4lnx+1),作出函数y=(x-a)2和y=a2(4lnx+1)的图象,发现可得它们相切时,有一个公共点,此时a>0,设出切点(m,n),运用切线的斜率相等,点满足曲线方程,解方程可得a.

解答 解:方程f(x)=2ax有唯一正实根,即为
x2-2ax=4a2lnx即有(x-a)2=a2(4lnx+1),
作出函数y=(x-a)2和y=a2(4lnx+1)的图象,
发现可得它们相切时,有一个公共点,此时a>0,
即方程有唯一正实根.
设出切点为(m,n),由y=(x-a)2的导数为y′=2(x-a),
y=a2(4lnx+1)的导数为y′=$\frac{4{a}^{2}}{x}$,
即有2(m-a)=$\frac{4{a}^{2}}{m}$,可得m=2a,
又(m-a)2=a2(4lnm+1),即有lnm=0,
解得m=1,a=$\frac{1}{2}$.
故答案为:$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查函数方程的转化思想,考查数形结合的思想方法,以及运算能力,属于中档题.

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