Question

3．已知函数f（x）=log_a（1-ax），其中0＜a＜1．
（1）证明：f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）上是增函数；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质，和单调性的定义求解证明即可．
（2）由真数大于0求出原函数的定义域，然后由a的范围结合对数函数的单调性转化为一次不等式求出a的范围，最后取交集得答案

解答 解：由1-ax＞0，得ax＜1，
而a＞0，
∴x＜$\frac{1}{a}$，即定义域为（-∞，$\frac{1}{a}$），
（1）设x₁＜x₂$＜\frac{1}{a}$，
1-ax₁＞1-ax₂．
∵0＜a＜1
∴log_a（1-ax₁）_＜log_a（1-ax₂）
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）上是增函数；
（2）0＜a＜1，
由f（x）＞1，得1-ax＜a，解得：x$＞\frac{1}{a}$-1．又定义域为（-∞，$\frac{1}{a}$），
所以，x的取值范围是（$\frac{1}{a}$-1，$\frac{1}{a}$）

点评 本题考查了复合函数的单调性，考查了对数不等式的解法，关键是注意对数函数的定义域，是中档题