Question

5．已知函数f（x）=x（x²-ax+3）．
（Ⅰ）若x=$\frac{1}{3}$是f（x）的极值点，求f（x）在区间[-1，4]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，令f′（x）=0，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值；
（Ⅱ）问题转化为a≤[$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）]_最小值即可，设g（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥1），求出函数g（x）的最小值，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x³-ax²+3x，得：f′（x）=3x²-2ax+3，
由已知得：f′（$\frac{1}{3}$）=0，解得：a=5，
∴f（x）=x³-5x²+3x，f′（x）=3x²-10x+3，
由f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{3}$或3，
f（x）与f′（x）在[-1，4]上的变化情况如下：

x	-1	（-1，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		+		-		+
f（x）	-9	递增	$\frac{13}{27}$	递减	-9	递增	-4

∴函数f（x）在[-1，4]上的最小值为-9，最大值是$\frac{13}{27}$；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax+3，
由f（x）在[1，+∞）递增，得：
3x²-2ax+3≥0，即；a≤$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），
要使上式成立，只要a≤[$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）]_最小值即可，
设g（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥1），
由于g（x）在[1，+∞）是递增，
∴g（x）_最小值=2，
∴a≤3，
即a的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．