Question

13．已知数列{a_n}满足（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1），a₁=2，令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n•3ⁿ}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1）=3[（a_n-1）-（a_n+1-1）]，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，即b_n+1-b_n=$\frac{1}{3}$．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）${b}_{n}•{3}^{n}$=（n+2）•3^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵（a_n+1-1）（a_n-1）=3（a_n-a_n+1）=3[（a_n-1）-（a_n+1-1）]，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$，即b_n+1-b_n=$\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为$\frac{1}{3}$．
∴b_n=1+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+2}{3}$．
（2）${b}_{n}•{3}^{n}$=（n+2）•3^n-1．
∴数列{b_n•3ⁿ}的前n项和S_n=3+4×3+5×3²+…+（n+2）•3^n-1．
∴3S_n=3×3+4×3²+…+（n+1）×3^n-1+（n+2）•3ⁿ，
∴-2S_n=3+3+3²+…+3^n-1-+（n+2）•3ⁿ=2+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-（n+2）•3ⁿ=2+$\frac{-（2n+3）×{3}^{n}-1}{2}$，
∴S_n=$\frac{（2n+3）×{3}^{n}-3}{4}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．