Question

选修4-1几何证明选讲，如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知为方程的两根，

（1）  证明 C,B,D,E四点共圆；
（2）若，求C,B,D,E四点所在圆的半径。

Answer 1

（1）见解析（2）

本试题主要是考查了四点共圆的证明以及圆的半径的求解综合运用。
（1）由于连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，结合根与系数的关系可知△ADE∽△ACB，那么因此  ∠ADE=∠ACB ， 所以C,B,D,E四点共圆。
（2）m="4," n=6时，方程x²-14x+mn=0的两根为x₁=2,x₂=12.故  AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
结合平行关系得到结论。
解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
                
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ， 所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m="4," n=6时，方程x²-14x+mn=0的两根为x₁=2,x₂=12.故  AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=90⁰，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5