Question

归纳原理分别探求：
（1）凸n边形的内角和f（n）=

 

；
（2）凸n边形的对角线条数f（n）=

 

；
（3）平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f（n）=

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理（1）由三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，我们进行归纳推理，易得到结论；（2）我们由三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，我们进行归纳推理，易得到结论；（3）我们由两个圆相交将平面分为4分，三个圆相交将平面分为8分，四个圆相交将平面分为14部分，我们进行归纳推理，易得到结论．

解答：解：（1）∵三角形的内角和为180°，
四边形的内角和为360°=2×180°，
五边形的内角和为540°=3×180°
…
故凸n边形的内角和f（n）=（n-2）180°
（2）∵三角形有0=

3(3-3)

2

条对角线，
四边形有2=

4(4-3)

2

条对角线，
五边形有5=

5(5-3)

2

条对角线
…
凸n边形的对角线条数f（n）=

n(n-3)

2

（3）∵一个圆将平面分为2份
两个圆相交将平面分为4=2+2份，
三个圆相交将平面分为8=2+2+4份，
四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份，
…
平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f（n）=2+（n-1）n
故答案为：（n-2）180°，

n(n-3)

2

，2+（n-1）n

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．