Question

抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x²+y²=9相交，公共弦MN的长为2

5

，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．

Answer 1

分析：根据公共弦长为2

5

，设M（m，-

5

）、N（m，

5

），代入圆方程解出m=±2，从而得出点M、N的坐标．再设抛物线方程为x²=2ay（a≠0），代入M、N坐标解出a值，即可得到抛物线的方程，进而可得抛物线的焦点坐标与准线方程．

解答：解：∵抛物线与圆x²+y²=9相交，公共弦MN的长为2

5

，
∴设M（m，-

5

）、N（m，

5

）．
将M、N坐标代入圆方程，得m²+5=9，解得m=±2（舍负），
∴M（2，-

5

）、N（2，

5

），或M（-2，-

5

）、N（-2，

5

），
设抛物线方程为x²=2ay（a≠0），
∵点M、N在抛物线上，
∴5=2a×（±2），解得2a=±

5

2

，
故抛物线的方程为x²=

5

2

y或x²=-

5

2

y．
抛物线x²=

5

2

y的焦点坐标为（0，

5

8

），准线方程为y=-

5

8

；
抛物线x²=-

5

2

y的焦点坐标为（0，-

5

8

），准线方程为y=

5

8

．

点评：本题已知抛物线与圆相交所得的弦长，求抛物线的方程．着重考查了直线与圆的位置关系、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．