Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：
①当c=0时，有f（-x）=-f（x）成立；      
②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称   
④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是c-

b2

2

．
其中正确的命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：①c=0，f（-x）=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-f（x），由奇函数的定义判断
②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=

x2+c，x≥0 -x2+c，x＜0

，根据函数的图象可得结论；
③因为f（x）=|x|x+bx为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各单位，故可得结论；
④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c=x²+bx+c，若b≤0，则f（x）有最小值

4c-b2

4

．

解答：解：①c=0，f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-x|-x|+b（-x）=-f（x），故①正确；
②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=

x2+c，x≥0 -x2+c，x＜0

，因为c＞0，所以当x＞0时，函数顶点在x轴上方且开口向上，图象与x轴无交点，当x＜0时，图象顶点在x轴上方且开口向下，图象与x轴只有一个交点，故方程f（x）=0只有一个实数根，命题②正确；
③因为f（x）=|x|x+bx为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各单位，所以y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故命题③正确；
④当x＞0时，函数f（x）=x|x|+bx+c=x²+bx+c，若b≤0，则f（x）有最小值

4c-b2

4

，故④不正确
综上，正确的命题的序号是①②③
故答案为：①②③

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、对称性及函数图象在解题中的运用，要求考生熟练掌握函数的性质，并能灵活运用性质求解．