Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC的中点．
（Ⅰ）证明：ND∥面PAB；
（Ⅱ）求AN与面PND所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中点M，连结AM，MN，证明：四边形AMND是平行四边形，得出ND∥AM，即可证明ND∥面PAB；
（Ⅱ）在面PAD内过A做AF⊥PD于F，则CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，连接NF，则∠ANF是AN与面PND所成的角，即可求AN与面PND所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，取PB中点M，连结AM，MN．
∵MN是△BCP的中位线，∴MN平行且等于$\frac{1}{2}$BC．    （1分）
依题意得，AD平行且等于$\frac{1}{2}$BC，则有AD平行且等于MN（2分）
∴四边形AMND是平行四边形，∴ND∥AM（3分）
∵ND?面PAB，AM?面PAB，∴ND∥面PAB（5分）
（Ⅱ）解：取BC的中点E，则$AD\underline{\underline{∥}}CE$，所以四边形AECD是平行四边形，
所以CD∥AE，又因为AB=AC，所以AE⊥BC，所以CD⊥BC，
又BC∥AD，所以CD⊥AD（6分）

PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，所以PA⊥CD（7分）
又PA∩AD=A，所以CD⊥面PAD．（8分）
在面PAD内过A做AF⊥PD于F，则CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，连接NF，则∠ANF是AN与面PND所成的角．（10分）
在Rt△ANF中，$AN=\frac{1}{2}PC=\frac{5}{2}$，$AF=\frac{4×2}{{\sqrt{16+4}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$sin∠ANF=\frac{AF}{AN}=\frac{{8\sqrt{5}}}{25}$，
所以AN与面PND所成角的正弦值为$\frac{{8\sqrt{5}}}{25}$（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．