Question

设曲线f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x₂₀₀₉的值为（　　）

• A、-log₂₀₁₀2009
• B、-1
• C、（（log₂₀₁₀2009）-1
• D、1

Answer 1

分析：由导数的几何意义可求切线的斜率k，写出过（1，1）的切线方程，在切线方程中令f（x）=0，可得x_n，然后根据对数的运算法则计算．

解答：解：设过（1，1）的切线斜率k，f（x）′=（n+1）xⁿ
则k=f（1）′=n+1，切线方程y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得xn=

n

n+1

∴X1•X2…X2009=

1

2

•

2

3

• …

2009

2010

=

1

2010

log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x2009=log2010X1• X2…X2009=log2010

1

2010

=-1
故选 B

点评：本题着重考查了导数的几何意义及过某一定点的切线方程，熟悉对数的运算法则是解决本题的基础；对于这类问题还考查学生对基本知识、基本技能的掌握程度．