Question

已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm，2cm和

3

cm，则此球的体积为（　　）

• A．

  12 3

  3

  πcm3
• B．

  16 3

  3

  πcm3
• C．

  16

  3

  πcm3
• D．

  32

  3

  πcm3

Answer 1

分析：将三棱锥放入以3cm、2cm和

3

cm为长、宽和高的长方体中，则长方体与三棱锥有相同的外接球，利用长方体的对角线公式得到球直径，从而得到外接球的半径r，最后用球体积公式可求出该球的体积．

解答：解：如图，将符合题意的三棱锥放入长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则三棱锥A₁-AB₁D₁中，侧棱A₁A、A₁B₁、A₁D₁互相垂直，
设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球为球O，则球O同时是三棱锥A₁-AB₁D₁的外接球
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的长、宽、高分别为3cm、2cm、

3

cm，
∴长方体的对角线长为

32+22+( 3 )2

=4cm，
可得外接球O的半径为2cm．
根据球的体积公式，得球O的体积为V=

4π

3

×r³=

32

3

πcm3
故选D

点评：本题给出三条侧棱两两垂直的三棱锥并给出三条侧棱的长，求三棱锥的外接球的体积，着重考查了球内接多面体、长方体对角线公式和球体积公式等知识，属于基础题．