Question

14．过点A（1，0）的直线l与椭圆$C：\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$相交于E，F两点，自E，F分别向直线x=3作垂线，垂足分别为E₁，F₁．
（Ⅰ）当直线l的斜率为1时，求线段EF的中点坐标；
（Ⅱ）记△AEE₁，△AFF₁的面积分别为S₁，S₂．设λ=S₁S₂，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，直线l的方程为y=x-1，与椭圆方程联立得2x²-3x=0．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），线段EF的中点为M（x₀，y₀），利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立（m²+3）y²+2my-2=0，显然m∈R．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），E₁（3，y₁），F₁（3，y₂）．由λ=S₁S₂=$\frac{1}{2}（3-{x}_{1}）|{y}_{1}|$×$\frac{1}{2}（3-{x}_{2}）|{y}_{2}|$=$\frac{1}{4}$$[4-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}]$|y₁y₂|，代入根与系数的关系，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意，直线l的方程为y=x-1，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x^2}+3{y^2}-3=0}\end{array}}\right.$，得2x²-3x=0．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），线段EF的中点为M（x₀，y₀），则x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₀=$\frac{3}{4}$，
y₀=x₀-1=-$\frac{1}{4}$．所以M$（\frac{3}{4}，-\frac{1}{4}）$．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x^2}+3{y^2}-3=0}\end{array}}\right.$，
得（m²+3）y²+2my-2=0，显然m∈R．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+3}}$．
E₁（3，y₁），F₁（3，y₂）．
因为λ=S₁S₂=$\frac{1}{2}（3-{x}_{1}）|{y}_{1}|$×$\frac{1}{2}（3-{x}_{2}）|{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}$（2-my₁）（2-my₂）|y₁y₂|=$\frac{1}{4}$$[4-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}]$|y₁y₂|=$\frac{{2{m^2}+6+2{m^2}-{m^2}}}{{2（{m^2}+3）}}•\frac{2}{{{m^2}+3}}$=$\frac{{3{m^2}+6}}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}$=$-\frac{3}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}+\frac{3}{{{m^2}+3}}$．
因为$\frac{1}{{{m^2}+3}}∈（0，\frac{1}{3}]$，
所以实数λ的取值范围是$（0，\frac{2}{3}]$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数的单调性、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．