Question

已知向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

Acosx，

A

2

cos2x)(A＞0)，函数f(x)=

m

•

n

-1的最大值为3．
（Ⅰ）求A以及最小正周期T；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[-

π

12

，

π

6

]上的最小值，以及此时对应的x的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积公式和三角恒等变换公式，化简得f（x）=Asin(2x+

π

6

)-1，由f（x）最大值为3建立关于A的等式，解得A=4，再利用三角函数的周期公式即可算出最小正周期T；
（II）由（I）得函数f(x)=4sin(2x+

π

6

)-1，根据三角函数图象变换的公式得到函数y=f（x）的图象经过两次变换后的图象对应的解析式为y=4sin(4x+

π

3

)-1，可得g(x)=4sin(4x+

π

3

)-1，再由正弦函数的图象与性质加以计算，即可得到g（x）在[-

π

12

，

π

6

]上的最小值及相应应的x的值．

解答：解：（ I）∵

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

Acosx，

A

2

cos2x)(A＞0)，
∴f(x)=

m

•

n

-1=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x-1
=A(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)-1=Asin(2x+

π

6

)-1
∵A＞0，且f(x)=

m

•

n

-1的最大值为3，
∴A-1=3，
解得A=4，函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
综上所述，A=4且最小正周期T=π．
（Ⅱ）由（I）可得函数f（x）的解析式为f(x)=4sin(2x+

π

6

)-1，
∴将函数y=f（x）的图象向左平移

π

12

个单位，得到y=4sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]-1=4sin(2x+

π

3

)-1的图象．
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到y=4sin(4x+

π

3

)-1的图象．
因此，函数g(x)=4sin(4x+

π

3

)-1，
∵当x∈[-

π

12

，

π

6

]时4x+

π

3

∈[0，π]，
可得sin(4x+

π

3

)∈[0，1]，
∴当4x+

π

3

=0或π时，
即x=-

π

12

或x=

π

6

时，g（x）_min=-1．
即g（x）在[-

π

12

，

π

6

]上的最小值为-1，
此时对应的x的值等于-

π

12

或

π

6

．

点评：本题给出以向量的数量积为解析式的函数，在已知函数的最小值情况下求函数的表达式，并讨论函数图象的变换问题．着重考查了向量的数量积公式、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．