Question

已知函数f（x）=4x²-kx+8
（Ⅰ）若函数f（x）为R上的偶函数，求实数k的值；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：当k=8时，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由偶函数的定义可求k的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义直接证明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）为偶函数，∴任取x∈R，都有f（-x）=f（x），
         即4（-x）²-k（-x）+8=4x²-kx+8，∴k=0；
    （Ⅱ）当k=8时，函数f（x）=4x²-8x+8，现用函数单调性的定义证明f（x）在[1，+∞）上的增减性
         证明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，则
              f（x₁）-f（x₂）=（4x12-8x₁+8）-（4x22-8x₂+8）=4（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）；
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
              即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在[1，+∞）上为增函数．

点评：本题用二次函数为载体，考查函数的奇偶性和单调性，是基础题．