Question

如图，平面EAD⊥平面ABFD，△AED为正三角形，四边形ABFD为直角梯形，且∠BAD=90°，
AB∥DF，AD=a，AB=

2

a，DF=

2 a

2

．
（I）求证：EF⊥FB；
（II）求二面角A-BF-E的大小；
（Ⅲ）点P是线段EB上的动点，当∠APF为直角时，求BP 的长度．

Answer 1

分析：（I）由图形知，连接OF，证明EF⊥FB可通过证明FB⊥平面EOF，利用线面垂直的性质证线线垂直；
（II）法一：由于平面EAD⊥平面ABCD，过点E向AD引垂线交AD于点O，连接OB，OF，延长DF到点C，使CD=AB，可证得∠EFO为二面角A-BF-E的平面角，在Rt△EOF中，求出此角；
法二：取AD的中点O，连接OE，则EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如图所示的直角坐标系，设AD=a，给出图形中各点的用a表示的坐标，求出两平面EFB的法向量与平面ABCD的一个法向量，再由向量求夹角公式求出两平面的夹角；
（Ⅲ）由（II）中的法二，利用向量求解，可设

PB

=t

EB

，（0≤t≤1）用引入的参数t表示出

PA

，

PF

的坐标，再由两向量垂直的条件建立关于t的方程，求出t的值即可得到符合条件的点P的位置，从而求BP 的长度

解答：解：（I）证明：连接OF，则OF2=OD2+DF2=

1

4

a2+

1

2

a2=

3

4

a2，FB2=FC2+CB2=

1

2

a2+a2=

3

2

a2，OB2=

9

4

a2，
所以OB²=OF²+FB²，即OF⊥FB．
又因为EO⊥FB，所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（3分）
方法一
（Ⅱ）∵平面EAD⊥平面ABCD，过点E向AD引垂线交AD于点O，连接OB，OF，延长DF到点C，使CD=AB，
则OF2=OD2+DF2=

1

4

a2+

1

2

a2=

3

4

a2，FB2=FC2+CB2=

1

2

a2+a2=

3

2

a2，OB2=

1

4

a2+2a2=

9

4

a2，
所以OB²=OF²+FB²，即∠EFO为二面角A-BF-E的平面角，
在Rt△EOF中，EO=OF，所以∠OFE=

π

4

．    （6分）
方法二：（II ）取AD的中点O，连接OE，则EO⊥AD，EO⊥平面ABCDD，建立如图所示的直角坐标系，设AD=a，
则AB=

2

a，则EO=

3

2

a，
则A(

a

2

，0，0)，B(

a

2

，

2

a，0)，E(0，0，

3

2

a)，F(-

a

2

，

2

2

a，0)，
所以

EF

=(-

a

2

，

2

2

a，

3

2

a)，

EB

=(

a

2

，

2

a，-

3

2

a)，
可求得平面EFB的法向量为

n

=(-

3

3

，

6

3

，1)，
平面ABCD的一个法向量为

m

=(0，0，1)，
则二面角A-BF-E的大小为θ，cosθ=

2

2

，即二面角为

π

4

．          （6分）
（Ⅲ）设

PB

=t

EB

，（0≤t≤1）则

PA

=

PB

+

BA

=t

EB

+

BA

=t(

a

2

，

2

a，-

3

2

a)+(0，-

2

a，0)=a(

t

2

，

2

(t-1)，-

3

2

t)，同理，

PF

=a((

t

2

-1)，

2

(t-

1

2

)，-

3

2

t)，（8分）

PA

•

PF

=a2[

t

2

(

t

2

-1)+2(t-1)(t-

1

2

)+

3

4

t2]=a2(3t2-

7

2

t+1)，
由3t2-

7

2

t+1=0，解得t=

1

2

或

2

3

，
所以BP=

3

2

a或

2 3

3

a．（10分）

点评：本题考查与二面角有关的立体几何证明题，解题的关键是熟练掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步骤，向量中的方程与立体几何中位置关系的对应，如数量积为0与垂直的对应，向量的共线与平行的对应，向量夹角与线线角，线面角，面面角的对应，本题考查了数形结合的思想，转化的思想，方程的思想，考查了待定系数建立方程的技巧，用向量解决立体几何问题的方法，本题知识性综合性强，考查空间想像能力，推理判断能力及转化的能力，本题运算量大，且多是符号运算，解题时要严谨