Question

【题目】【2017长沙模拟】如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．

(1)求证：AD⊥C1E；

(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1A1B1E的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】 (1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①

又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，

而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②

由①②得AD⊥平面BB1C1C.

由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.

(2)因为AC∥A1C1，所以∠A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°.

因为∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面A1ABB1，

于是A1C1⊥A1E. 故C1E＝＝2，又B1C1＝＝2，

所以B1E＝＝2，从而V三棱锥C1A1B1E＝S△A1B1E×A1C1＝××2××＝.