Question

已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C₁于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ₁+λ₂为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C₂于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P'、Q'，，若点S满足：，证明：点S在椭圆C₂上．

Answer 1

（Ⅰ）解：由C₁：y²=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x²+y²=1上得：，∴p=2
∴抛物线C₁：y²=4x…（2分）
同理由椭圆C₂：的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，a=
∴椭圆C₂：
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则N（0，-k）
直线与抛物线联立，消元可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=1
∵
∴λ₁（1-x₁）=x₁，λ₂（1-x₂）=x₂
∴，
∴λ₁+λ₂=为定值；
（Ⅲ）证明：设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则P′（x₃，0），Q′（x₄，0），
∵，∴S（x₃+x₄，y₃+y₄）
∵
∴2x₃x₄+y₃y₄=-1①
∵P，Q在椭圆上，∴②，③
由①+②+③得（x₃+x₄）²+=1
∴点S在椭圆C₂上
分析：（Ⅰ）由C₁：y²=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x²+y²=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x²+y²=1上可解得椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合，从而可求λ₁、λ₂的值，即可得证；
（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用，确定S的坐标，利用及P，Q在椭圆上，即可证得结论．
点评：本题考查抛物线与椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程，利用向量知识求解．