Question

在△ABC，中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b²-a²+c²-

2

bc=0，bsinB-csinC=a．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=

2

，求c．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理和已知b²-a²+c²-

2

bc=0可求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用正弦定理把bsinB-csinC=a转化成角的正弦，化简整理求得sin（2C+

π

4

）的值，进而求得C，最后利用正弦定理求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵b²-a²+c²-

2

bc=0，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

4

．
（Ⅱ）∵bsinB-csinC=a，
∴sin²B-sin²C=sinA=

2

2

，
∴cos2C-cos2B=

2

，即cos2C-cos（

3π

2

-2C）=

2

∴cos2C+sin2C=

2

，
∴sin（2C+

π

4

）=1，
∴2C+

π

4

=2kπ+

π

2

，C=

π

8

+kπ，k∈Z，
∵C∈（0，

3π

4

），
∴C=

π

8

，
∵sin

π

8

=

1-cos π 4 2

=

2- 2

2

，

c

sinC

=

a

sinA

，
∴c=

asinC

sinA

=2sin

π

8

=

2- 2

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题过程中的sin

π

8

的值，可利用二倍角公式通过cos

π

4

求得．