Question

已知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），曲线C上的动点M满足|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|，直线MF₂与曲线C交于另一点P．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设N（-4，0），若S△MNF2：S△PNF2=3：2，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，所以曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为8的椭圆．由此可知曲线C的方程；
（Ⅱ）设M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．由

x2 16 + y2 12 =1 y=k(x+4)

得（3+4k²）y²-24ky=0．解得y=0或y=

24k

4k2+3

．依题意yM=

24k

4k2+3

，xM=

1

k

yM-4=

-16k2+12

4k2+3

；由此可知直线MN的方程．

解答：解：（Ⅰ）因为|F₁F₂|=4，|MF₁|+|MF₂|=2|F₁F₂|=8＞4，
所以曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为8的椭圆．
曲线C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．（4分）
（Ⅱ）显然直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．（5分）
设M（x_M，y_M），P（x_P，y_P），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．
由

x2 16 + y2 12 =1 y=k(x+4)

得（3+4k²）y²-24ky=0．
解得y=0或y=

24k

4k2+3

．
依题意yM=

24k

4k2+3

，xM=

1

k

yM-4=

-16k2+12

4k2+3

．（7分）
因为S△MNF2：S△PNF2=3：2，
所以

|MF2|

|F2P|

=

3

2

，则

MF2

=

3

2

F2P

．
于是

2-xM= 3 2 (xP-2) 0-yM= 3 2 (yP-0)

所以

xP= 2 3 (2-xM)+2= 24k2+2 4k2+3 yP=- 2 3 yM= -16k 4k2+3 .

（9分）
因为点P在椭圆上，所以3(

24k2+2

4k2+3

)2+4(

-16k

4k2+3

)2=48．
整理得48k⁴+8k²-21=0，
解得k2=

7

12

或k2=-

3

4

（舍去），
从而k=±

21

6

．（（11分））
所以直线MN的方程为y=±

21

6

(x+4)．（12分）

点评：本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题．