Question

已知函数f(x)=cosx(

3

sinx+cosx)-

1

2

 (x∈R)
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

] 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f(x0)=

5

13

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀ 的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦化简函数f（x）的解析式为sin(2x+

π

6

)，由此求得函数的最小正周期，再根据2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，求得函数的最大值和最小值．
（Ⅱ）由（1）可知f(x0)=sin(2x0+

π

6

)，再根据 2x₀+

π

6

的范围利用同角三角函数的基本关系求得cos(2x0+

π

6

)的值，再根据cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]，利用两角差
的余弦公式求得结果．

解答：解：（1）由题知：f(x)=

3

sinxcosx+cos2x-

1

2

=

3

2

(2sinxcosx)+

2cos2x-1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)，
所以函数f（x） 的最小正周期为π．…（5分）
因为 x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．…（7分）
故当2x+

π

6

=

7π

6

 时，函数f（x）取得最小值为-

1

2

；当2x+

π

6

=

π

2

时，函数f（x）取得最大值为1，故函数在区间[0，

π

2

] 上的最大值为1，最小值为-

1

2

．．…（9分）
（Ⅱ）由（1）可知f(x0)=sin(2x0+

π

6

)，又因为f(x0)=

5

13

，
所以sin(2x0+

π

6

)=

5

13

，由x0∈[

π

4

，

π

2

]，得 2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
从而cos(2x0+

π

6

)=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

12

13

．…（12分）
所以cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]=cos(2x0+

π

6

)cos

π

6

+sin(2x0+

π

6

)sin

π

6

 
=-

12

13

•

3

2

+

5

13

•

1

2

=

5-12 3

26

． …（15分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦和余弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．