Question

已知a，b∈R，且e^x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（　　）

• A、

  1

  2

  e³
• B、

  2

  2

  e³
• C、

  3

  2

  e³
• D、e³

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=ae^x+1-a²x来研究不等式e^x+1≥ax+b恒成立的问题，求导易得．

解答： 解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e^x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则a≥0．
若a=0，则ab=0．
若a＞0，由e^x+1≥ax+b得b≤e^x+1-ax，则ab≤ae^x+1-a²x．
设函数f（x）=ae^x+1-a²x，
∴f′（x）=ae^x+1-a²=a（e^x+1-a），令f′（x）=0得e^x+1-a=0，解得x=lna-1，
∵x＜lna-1时，x+1＜lna，则e^x+1＜a，则e^x+1-a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）递减；
同理，x＞lna-1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；
∴当x=lna-1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna-1）=2a²-a²lna．
设g（a）=2a²-a²lna（a＞0），
g′（a）=a（3-2lna）（a＞0），
由g′（a）=0得a=e

3

2

，
不难得到a＜e

3

2

时，g′（a）＞0；a＞e

3

2

时，g′（a）＜0；
∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为g(e

3

2

)=

1

2

e3，
即ab的最大值是

1

2

e3，此时a=e

3

2

，b=

1

2

e

3

2

．
故选：A．

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及利用导数求函数的最值的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题．