Question

（文科做）已知点A₁（2，0），A₂（1，t），A₃（0，b），A₄（-1，t），A₅（-2，0），其中t＞0，b为正常数．
（1）半径为2的圆C₁经过A_i（i=1，2，…，5）这五个点，求b和t的值；
（2）椭圆C₂以F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）为焦点，长轴长是4．若A_iF₁+A_iF₂=4（i=1，2，…，5），试用b表示t；
（3）在（2）中的椭圆C₂中，两线段长的差A₁F₁-A₁F₂，A₂F₁-A₂F₂，…，A₅F₁-A₅F₂构成一个数列{a_n}，求证：对n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．（本小题解答中用到了椭圆的第一定义与焦半径公式，新教材实验区的学生可不解第三小题，请学习时注意）

Answer 1

分析：（1）注意到A₁（2，0），A₅（-2，0），且半径为2的圆C₁经过A_i，故线段A₁A₅就是所求圆的直径，O为圆心，写出圆的标准方程即可
（2）椭圆长轴长是4，即a=2，故可设椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1，因为A_iF₁+A_iF₂=4，由椭圆定义知点A₂（1，t）在椭圆上，代入椭圆方程即可用b表示t；
（3）利用焦半径公式，A_iF₁=ex_i+a，再利用椭圆定义，即可得A_iF₁-A_iF₂=2A_iF₁-2a=2ex_i，可见数列{a_n}的项的大小只与点A_i的横坐标有关，进而易证a_n+1＜a_n．

解答：解：（1）∵A₁A₅=4，则A₁A₅为⊙C₁的直径，∴圆心为A₁，A₅的中点（0，0）
∴⊙C₁的方程是x²+y²=4，
∵A₂（1，t），A₃（0，b）在圆上，
∴b=2，t=

3

；
（2）∵椭圆C₂以F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）为焦点，长轴长是4，
∴椭圆C₂的方程是

x2

4

+

y2

b2

=1，将A₂（1，t）代入，
得

12

4

+

t2

b2

=1，得t=

3

2

b；
（3）设A_i的坐标是（x_i，y_i），∵椭圆C₂的左准线为x=-

a2

c

，
∴

AiF1

xi+ a2 c

=e，则AiF1=e(xi+

a2

c

)=exi+a，（其中e=

c

a

为椭圆的离心率）
A_iF₁-A_iF₂=2A_iF₁-2a=2ex_i
由于{x_i}递减，则对n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．

点评：本题考察了圆的标准方程，椭圆的标准方程，椭圆的定义，椭圆的几何性质等基础知识及其应用，本题解答中用到了椭圆的第二定义转化AiF1=e(xi+

a2

c

)=exi+a，新教材实验区的学生可不解第三小题，请学习时注意