Question

已知点A（1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点C，D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆定义及椭圆上点满足|AF₁|+|AF₂|=4，可得，a=2再把A点坐标代入椭圆方程，即可得到y值，椭圆的方程可求．
（2）只需设AC斜率，则AD斜率可知，在分别于椭圆方程联立，找C，D坐标，利用斜率公式判断．

解答：解：（1）∵A（1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一点，F₁、F₂为两个焦点，
|AF₁|+|AF₂|=4，
∴2a=4，a=2，（2分）
 

1

4

+

1

b2

=1，
∴b2=

4

3

，∴c2=4-

4

3

=

8

3

，（4分）
∴e=

c

a

=

6

3

．椭圆的方程为

x2

4

+

3y2

4

=1．（6分）
（2）设C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
∵直线AC、AD的倾斜角互补，
∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）
由

yC-1=k(xC-1) x2 4 + 3y2 4 =1

，得（1+3k²）x²+3（2k-2k²）x+3（k²-2k）-1=0（10分）
∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．
∴xC=

3(k2-2k)-1

1+3k2

，同理，xD=

3(k2+2k)-1

1+3k2

．（12分）
∴kCD=

yC-yD

xC-xD

=

k(xC-1)+1+k(xD-1)-1

xC-xD

=

k(xC+xD)-2k

xC-xD

=

1

3

．
故直线CD的斜率为定值

1

3

．（13分）

点评：此题考查了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆位置关系，，属于常规题，解题时认真分析，找准突破口，