Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x|，x≤2}\\{（x-2）^{2}，x＞2}\end{array}\right.$，函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函数y=f（x）-g（x）恰好有四个零点，则b的取值范围是（$\frac{7}{4}$，2）．

Answer 1

分析 函数y=f（x）-g（x）恰好有四个零点可化为函数y=f（x）+f（2-x）与y=b的图象有四个交点，从而化简y=f（x）+f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$，作图象求解．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x|，x≤2}\\{（x-2）^{2}，x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|2-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
∵函数y=f（x）-g（x）恰好有四个零点，
∴方程f（x）-g（x）=0有四个解，
即f（x）+f（2-x）-b=0有四个解，
即函数y=f（x）+f（2-x）与y=b的图象有四个交点，
y=f（x）+f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$，
作函数y=f（x）+f（2-x）与y=b的图象如下，
，
f（$\frac{1}{2}$）+f（2-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$）+f（2-$\frac{5}{2}$）=$\frac{7}{4}$，
结合图象可知，
$\frac{7}{4}$＜b＜2，
故答案为：（$\frac{7}{4}$，2）．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用．