Question

等差数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=1+

2

， S3=9+3

2

．
（1）求数列{a_n}的通项a_n与前n项和S_n；
（2）设bn=

Sn

n

(n∈N*)，数列{b_n}中是否存在不同的三项能成为等比数列．若存在则求出这三项，若不存在请证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：d=2，进而得到an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)．
（2）由（1）得bn=

Sn

n

=n+

2

．假设数列{b_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比数列，
则b_q²=b_pb_r，结合题意可得p=r，与p≠r矛盾．

解答：解：（1）由已知得

a1= 2 +1 3a1+3d=9+3 2

∴d=2
故an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)
（2）由（1）得bn=

Sn

n

=n+

2

．
假设数列{b_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比数列，
则b_q²=b_pb_r，
即(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)，
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0
∵p，q，r∈N^*，∴

q2-pr=0 2q-p-r=0

∴(

p+r

2

)2=pr，(p-r)2=0，∴p=r
与p≠r矛盾．
所以数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

点评：本题考查数列求通项公式与求法和，解题时要注意反证推理的合理运用．