Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B－AD－C，如图2.

(1)证明：平面ABD⊥平面BCD；

(2)设E为BC的中点，BD＝2，求异面直线AE与BD所成的角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）异面直线AE与BD所成的角的大小为60°.

【解析】试题分析：（1）由折叠可知AD⊥CD，AD⊥BD，再根据线面垂直判定定理得AD⊥平面BCD.最后根据面面垂直判定定理得结论（2）线线角找平行：取CD的中点F，则结合三角形中位线性质得∠AEF为异面直线AE与BD所成的角，最后通过解三角形得异面直线AE与BD所成的角的大小

试题解析：(1)因为折起前AD是BC边上的高，

则当△ABD折起后，AD⊥CD，AD⊥BD

又CD∩BD＝D，则AD⊥平面BCD.

因为AD平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.

(2)取CD的中点F，连接EF，则EF∥BD，

所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角．

连结AF、DE.由BD＝2，则EF＝1，AD＝2，CD＝6，DF＝3.

在Rt△ADF中，AF＝＝.

在△BCD中，由题设∠BDC＝60°，则

BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝28，即BC＝2，

从而BE＝BC＝，cos∠CBD＝＝－.

在△BDE中，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos∠CBD＝13.

在Rt△ADE中，AE＝＝5.

在△AEF中，cos∠AEF＝＝.

所以异面直线AE与BD所成的角的大小为60°.