已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(2)是否存在实数x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
(1)解:∵,∴. 令,得. 若,则,在区间上单调递增,此时函数无最小值. 若,当时,,函数在区间上单调递减, 当时,,函数在区间上单调递增, 所以当时,函数取得最小值. 若,则,函数在区间上单调递减, 所以当时,函数取得最小值. 综上可知,当时,函数在区间上无最小值; 当时,函数在区间上的最小值为; 当时,函数在区间上的最小值为. (2)解:∵,, ∴ . 由(1)可知,当时,. 此时在区间上的最小值为,即. 当,,, ∴. 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解. 而,即方程无实数解. 故不存在,使曲线在点处的切线与轴垂直. |
本小题主要考查函数与导数等知识,考查分类讨论,化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力 |
科目:高中数学 来源: 题型:
1 |
12 |
a+1 |
2 |
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a |
x |
e | x |
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