Question

在△ABC中，

.

AB

=

.

c

，

.

BC

=

.

a

，

.

CA

=

.

b

，给出下列命题：
①若

.

a

.

.

b

＞0，则△ABC为钝角三角形
②若

.

a

.

.

b

=0，则△ABC为直角三角形
③若

.

a

.

.

b

=

.

b

.

.

c

，则△ABC为等腰三角形
④若

.

c

．（

.

a

+

.

b

+

.

c

）=0，则△ABC为正三角形；其中真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①在三角形中要分清是内角C还是其补角．
②若

.

a

.

.

b

=0，则角C为直角，有一个角为直角的三角形，为直角三角形
③若

.

a

.

.

b

=

.

b

.

.

c

，可变形为（

.

a

-

.

c

）•

.

b

=0，可以得到（

.

a

-

.

c

）⊥

.

b

=0
④由（

.

a

+

.

b

+

.

c

）=

0

.

a

（

.

a

+

.

b

+

.

c

）=0一定为零．

解答：解：①若

.

a

.

.

b

＞0，则角C的补角为税角，角C为钝角，所以是钝角三角形，正确
②若

.

a

.

.

b

=0，则角C为直角，三角形是直角三角形，正确
③若

.

a

.

.

b

=

.

b

.

.

c

，则（

.

a

-

.

c

）•

.

b

=0，即(

.

BC

+

.

BA

)⊥

.

AC

，即AC边上的中线垂直于AC，三角形是等腰三角形，正确
④∵（

.

a

+

.

b

+

.

c

）=

0

，则

.

a

（

.

a

+

.

b

+

.

c

）=0，任何三角形都成立，所以不正确
综上，有三个命题正确
故选C

点评：本题主要考查向量的夹角，向量的运算等等，要注意向量与几何图形间的区别与联系．