Question

在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点．
（1）求证：CD∥平面AEF；
（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；
（3）求三棱锥C-AEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可证得；
（2）由线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理即可证得；
（3）由等积变换，V_C-AEF=V_A-CEF，再运用三棱锥的条件公式，即可得到．

解答： （1）证明：取AF中点M，连结DM，EM，
∵D，M分别是AB，AF的中点
∴DM是△ABF的中位线，∴DM

∥

.

1

2

BF且CE

∥

.

1

2

BF，
四边形CDME是平行四边形，∴CD∥EM，
又EM⊆面AEF且CD?面AEF
∴CD∥面AEF；
（2）证明：由左图知CE⊥AC，CE⊥BC，
且右图中：AC∩BC=C，∴CE⊥面ABC，又CD?面ABC
∴CE⊥CD，∴四边形CDME为矩形，则EM⊥MD，△AEF中EA=EF，M为AF的中点，
∴EM⊥AF，且AF∩MD=M，∴EM⊥面ABF，又EM?面AEF，∴面AEF⊥面ABF；
（3）解：∵V_C-AEF=V_A-CEF，由左图知AC⊥CE，又面AEC⊥平面BCEF，且AEC∩平面BCEF=CE，
∴AC⊥面BCEF，即AC为三棱锥A-CEF的高，
∴V_A-CEF=

1

3

S_△CEF•AC=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

．

点评：本题主要考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定和性质定理，同时考查三棱锥的体积公式，属于中档题．