Question

已知函数f（x）=2x-3，g（x）=x²，F（x）=（1-m）f（x）+mg（x）+

1

m

（m＞0）．
（1）求集合A={x|f（x）+g（x）＞0}；
（2）是否在正数m，使得当x∈A时，F（x）的最小值为3？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
（3）设全集U=R，若集合{x|F（x）=0，x∈∁_UA}≠∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：对于（1），直接解不等式即可；对于（2）根据二次函数的性质，求二次函数的最小值解方程即可；
对于（3），需要讨论二次函数在∁_UA=[-3，1]上解的存在情况即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x-3，g（x）=x²，∴f（x）+g（x）＞0，可以化为：x²+2x-3＞0
∴不等式的解为：x＜-3或x＞1，∴A={x|f（x）+g（x）＞0}=（-∞，-3）∪（1，+∞）．
（2）∵f（x）=2x-3，g（x）=x²，∴F（x）=（1-m）f（x）+mg（x）+

1

m

=mx²+2（1-m）x+3m+

1

m

-3（m＞0）
∵A=（-∞，-3）∪（1，+∞），m＞0，最小值只能在顶点处．∵x=-

2(1-m)

2m

=1-

1

m

是对称轴，
∴F（1-

1

m

）=m（1-

1

m

）²+2（1-m）（1-

1

m

）+3m+

1

m

-3=2m-1，有已知，得2m-1=3，∴m=2，而1-

1

m

=

1

2

∉A，故不存在满足题意的正数m．
（3）由（1）可知，∁_UA=[-3，1]，要使集合{x|F（x）=0，x∈∁_UA}≠∅，只要F（x）=0在A上有解即可，下面对解的情况分类讨论：
①F（-3）=0，得18m+

1

m

-9=0，∴18m²-9m+1=0，∴m=

1

3

，或m=

1

6

②F（1）=0，得2m²-m+1=0，∴m=-1，或m=

1

2

③F（x）=0在（-3，1）有解
1°F（x）=0在（-3，1）上有两解?

△≥0 -3＜1- 1 m ＜1 F(-3)＞0 F(1)＞0

?

8m2-4m≤0 m＞ 1 4 18m2-9m+1＞0 2m+ 1 m -1＞0

?

0≤m≤ 1 2 m＞ 1 4 m＜ 1 6 或m＞ 1 3 m＜- 1 2 或m＞1

?m∈∅

2°F（x）=0在（-3，1）上有一解?F（-3）F（1）＜0?（18m²-9m+1）（2m²-m+1）＜0?（6m-1）（3m-1）（2m+1）（m-1）＜0，
∴m∈（-

1

2

，

1

6

）∪（

1

3

，1）
综上，m的取值范围是（-

1

2

，

1

6

]∪[

1

3

，1）

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，二次函数的最小值以及二次函数的区间根问题，综合性较强，属于高档题目．