Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，若y＞2时总存在唯一x∈R，使得f（f（x））=2a²y²+ay成立，求正实数a的最小值．

Answer 1

分析 根据条件便可知道需满足x和f（f（x））是一一对应的关系，也就是x和f（x）为一一对应的关系，由f（x）的解析式可知f（x）≤0，或f（x）＞1时，x和f（x）是一对一的关系，从而得到2a²y²+ay＞1，可解出y$＞\frac{1}{2a}$，或$y＜-\frac{1}{a}$（舍去），再由y＞2恒成立，便可得到$\frac{1}{2a}≤2$，这样即可得出正实数a的最小值．

解答 解：x≤0时，0＜2^x≤1；x＞0时，log₂x∈R；
∴0＜f（x）≤1时，一个f（x）和两个x对应，而f（x）≤0，或f（x）＞1时，f（x）和x是一对一的关系；
∵y＞2，a＞0；
∴2a²y²+ay＞0；
∴要满足y＞2总存在唯一的x∈R，使f（f（x））=2a²y²+ay成立，则：2a²y²+ay＞1；
∴（ay+1）（2ay-1）＞0；
∴$y＞\frac{1}{2a}$，或y$＜-\frac{1}{a}$（舍去）；
∵y＞2；
∴$\frac{1}{2a}≤2$；
∴$a≥\frac{1}{4}$；
∴正实数a的最小值为$\frac{1}{4}$．

点评 考查指数函数，及对数函数的值域，分段函数中x和f（x）的对应关系的判断，以及解一元二次不等式，判断出x和f（x）存在一对一的关系是求解本题的关键．