Question

棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱C₁D₁的中点，F为棱BC的中点
（1）求证AE⊥DA₁
（2）求在线段AA₁上找一点G，使AE⊥面DFG．

Answer 1

分析：（1）连接AD₁，BC₁，利用DA₁⊥AD₁，DA₁⊥AB，又AB∩AD₁=A，说明DA₁⊥面ABC₁D₁，然后证明DA₁⊥AE
（2）取CD的中点H，连AH，EH．证明DF⊥平面AHE，然后证明AE⊥面DFG，即可说明所求G点即为A₁点．

解答：解：（1）证明：连接AD₁，BC₁，由正方体的性质可知 DA₁⊥AD₁，DA₁⊥AB，又AB∩AD₁=A
∴DA₁⊥面ABC₁D₁又AE?面ABC₁D₁
∴DA₁⊥AE
（2）所求G点即为A₁点，证明如下：
由（1）知 AE⊥DA₁取CD的中点H，连AH，EH．由DF⊥AH，DF⊥EH
AH∩EH=H     
可证DF⊥平面AHE
∴DF⊥AE
又∵DF∩A₁D=D
∴AE⊥面DFA₁，即AE⊥面DFG

点评：本题考查直线与平面垂直的性质的应用，考查逻辑推理能力，空间想象能力．