Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△ADP是等腰直角三角形，∠APD是直角，AB⊥AD，AB=1，$AD=2，AC=CD=\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅱ）求平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中点O，连结OP，OC，则PO⊥AD，从而OC，AD，PO两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
（Ⅱ）求出平面PAB的法向量和平面PAB的一个法向量，利用向量法能求出平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）取AD的中点O，连结OP，OC，
∵△ADP是等腰直角三角形，∠APD是直角，∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．
∴PO⊥OA，PO⊥OC，又∵AC=CD，∴OC⊥AD．
即OC，AD，PO两两垂直．（2分）
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由条件知，$OC=\sqrt{A{C^2}-A{O^2}}=\sqrt{{{\sqrt{5}}^2}-1}=2$，PO=1．
故O，A，B，C，D，P各点的坐标分别为：
O（0，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1），
所以，$\overrightarrow{AB}=（1，0，0），\overrightarrow{AP}=（0，-1，1）$，$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{DC}=（2，1，0）$，$\overrightarrow{DP}=（0，1，1）$．（4分）
设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}n•\overrightarrow{DC}=0\\ n•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ y+z=0\end{array}\right.$
令x=1，则y=-2，z=2，故n=（1，-2，2）是平面PCD的一个法向量．（6分）
设直线PB与平面PCD所成角为θ₁，
则$sin{θ_1}=|{cos＜n，\overrightarrow{PB}＞}|=|{\frac{{n•\overrightarrow{PB}}}{{|n|•|{\overrightarrow{PB}}|}}}|=|{\frac{1-2-2}{{\sqrt{9}×\sqrt{3}}}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．（8分）
（Ⅱ）设平面PAB的法向量为m=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}m•\overrightarrow{AB}=0\\ m•\overrightarrow{AP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\-{y_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$．
令y₁=1，则z₁=1，故m=（0，1，1）是平面PAB的一个法向量．（10分）
设平面PCD与平面PAB所成角的二面角的平面角为θ₂，
则$cos{θ_2}=\frac{n•m}{|n|•|m|}=\frac{0-2+2}{{\sqrt{9}×\sqrt{2}}}=0$，
所以平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值0．（12分）

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．