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若函数的最小值是-2,求实数a的值,并求出此时f(x)的最大值.
【答案】分析:利用同角三角函数的平方关系式,化简函数的表达式,即可用cosx表示f(x);换元t=cosx,0则t∈[0,1],问题转化为二次函数闭区间上的最小值问题,通过分类,分别利用f(x)的最小值是-2,求实数a的值.
解答:解:函数f(x)=(a-1)2-2sin2x-2acosx
=(a-1)2-2+cos2x-2acosx
=2cos2x-2acosx+a2-2a-1.令t=cosx,则t∈[0,1],
,t∈[0,1]
①当,即a≤0时,,故a=1(舍)
②当,即0<a<2时,
解得,取,此时ymax=-1
③当,即a≥2时,
解得a=1(舍)或a=3,,此时ymax=2
综上,当时ymax=-1;当a=3时ymax=2
点评:本题考查换元法,分类讨论的数学思想,二次函数闭区间上的最值的应用,考查转化思想,计算能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

下列四个命题中:
(1)如果两个函数都是增函数,那么这两函数的积运算所得函数为增函数;
(2)奇函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则f(x)在R上为增函数;
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一个;
(4)若函数的最小值是a,最大值为b,则其值域为[a,b].
其中假命题的序号为
(1)、(3)、(4)
(1)、(3)、(4)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

下列四个命题中:
(1)如果两个函数都是增函数,那么这两函数的积运算所得函数为增函数;
(2)奇函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则f(x)在R上为增函数;
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一个;
(4)若函数的最小值是a,最大值为b,则其值域为[a,b].
其中假命题的序号为______.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年安徽省高三摸底考试理科数学 题型:解答题

已知函数,若函数的最小值是,且,对称轴是.

(1)求的解析式;

(2)求的值;

(3)在(1)的条件下求在区间上的最小值.

 

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科目:高中数学 来源:2012届四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学试题 题型:选择题

若函数的最小值是2,则实数的取值范围是

A.c≤1         B.c≥1             C.c<0             D.c∈R

 

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