Question

8．已知函数f（x）=m（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx（m∈R），g（x）=-$\frac{m}{x}$，若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，则实数m的范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{2}{e}$]
• B． （-∞，$\frac{2}{e}$）
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，即 $\frac{m}{2}$＜$\frac{lnx}{x}$在[1，e]上有解，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，然后求出h（x）的最大值，利用$\frac{m}{2}$＜h（x）_max能求出m的取值范围．

解答 解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，
∴mx＜2lnx，即$\frac{m}{2}$＜$\frac{lnx}{x}$在[1，e]上有解，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{m}{2}$＜h（e）=$\frac{1}{e}$，
∴m＜$\frac{2}{e}$．
∴m的取值范围是（-∞，$\frac{2}{e}$）．
故选：B．

点评 本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．