Question

已知函数的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（1）求实数a，b的值；
（2）设是[2，+∞）上的增函数．
①求实数m的最大值；
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）求导函数可得f′（x）=x²-2x+a
∵函数在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2，∴，∴．
（2）①由=，得g′（x）=．
∵g（x）是[2，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即在[2，+∞）上恒成立．
设（x-1）²=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2-≥0在[1，+∞）上恒成立
当m≤0时，不等式t+2-≥0在[1，+∞）上恒成立．
当m＞0时，设y=t+2-，t∈[1，+∞）
因为y′=1+＞0，所以函数y=t+2-在[1，+∞）上单调递增，因此y_min=3-m．
∴y_min≥0，∴3-m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．
综上，m的最大值为3．
②由①得g（x）=，其图象关于点Q（1，）成中心对称．
证明如下：∵g（x）=，
∴g（2-x）==
因此，g（x）+g（2-x）=．
∴函数g（x）的图象关于点Q成中心对称．
∴存在点Q（1，），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
分析：（1）求导函数，利用在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2，建立方程组，即可求实数a，b的值；
（2）①求导函数，利用g（x）是[2，+∞）上的增函数，可得g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，进一步利用换元法，确定函数的最值，即可求得m的最大值；
②由①得g（x）=，证明图象关于点Q（1，）成中心对称即可．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查图象的对称性，属于中档题．