分析:(1)把给出的等式左边写成和式后得到一个简洁的递推式,把n替换后得到另外一个等式,两式作差后即可得到结论;
(2)求出等比数列的通项公式,代入b
n-1=a
n+1-2a
n,把得到的等式两边同时除以2
n+2构造一个新数列{
},且同时得出该数列是等差数列.
解答:(1)解:由a
1+a
2+a
3+…+a
n-1+a
n+1=3a
n+2,(n≥2,n∈N
*),得:
Sn+1=4an+2(n≥2,n∈N*),则s
n+2=4a
n+1+2,
上述两式相减得:a
n+2=4a
n+1-4a
n,即a
n+2-2a
n+1=2(a
n+1-2a
n),
因为a
2-2a
1=1-2×1=-1≠0,所以
==2(n≥2,n∈N
*).
所以{b
n}是以2为公比的等比数列;
(2)证明:在已知等式中取n=1,得:a
1+a
3=3a
2+2,∴a
3=4,
∴b
1=a
3-2a
2=4-2×1=2,
∴
bn=b1×2n-1=2×2n-1=2n,即
an+2-2an+1=2n∴-=(n≥2),
所以当n≥2时{
}为以
为公差的等差数列,
∴
=+(n-2)=(n-1).
∴
an=(n-1)2n-2(n≥2)∴
an=.
点评:本题考查了等比关系和等差关系的确定,考查了等差数列的通项公式,考查了数学转化思想和分类讨论思想,解答此题的关键是灵活运用已知条件构造新数列,此题是中档题.