Question

6个大小相同的小球分别标有数字1，1，1，2，2，2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x，y，记ξ=x+y．
（1）求随机变量ξ分布列及数学期望．
（2）设“函数f （x）=x²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．

Answer 1

解：（1）由题知随机变量ξ的可能取值为2，3，4．
从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C₆²=15．
当ξ=2时，摸出的小球所标的数字为1，1，共有C₃²种．
∴P（ξ=2）=．
当ξ=3时，摸出的小球所标的数字为1，2，共有C₃¹•C₃¹种．
∴P（ξ=3）=．
当ξ=4时，摸出的小球所标的数字为2，2，共有C₃²种．
∴P（ξ=4）=．
∴ξ的分布列为

Eξ=2×+3×+4×=3．

（2）∵函数f（x）=x²-ξx-1在（2，3）上有且只有一个零点．
f（2）•f（3）＜0即（3-2ξ）（8-3ξ）＜0
∴且ξ=2，3，4
∴ξ=2．
∴P（A）=P（ξ=2）=．
分析：（1）由题知随机变量ξ的可能取值为2，3，4．结合变量对应的事件，求每一个事件的概率，当变量是2时，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C₆²，摸出的小球所标的数字为1，1，共有C₃²种．得到概率，以此类推，写出分布列和期望．
（2）首先整理函数f（x）=x²-ξx-1在（2，3）上有且只有一个零点时，要满足的条件，根据实根存在性定理得到f（2）•f（3）＜0即（3-2ξ）（8-3ξ）＜0，求出变量的范围，得到对应的ξ的值，根据第一问做出结果，得到概率．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查函数零点的存在性定理，考查用概率知识解决数学问题，是一个综合题目．