Question

6．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为84平方里．

Answer 1

分析 由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．

解答 解：由题意画出图象：
且AB=13里，BC=14里，AC=15里，
在△ABC中，由余弦定理得，
cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{1{3}^{2}+1{4}^{2}-1{5}^{2}}{2×13×14}$=$\frac{5}{13}$，
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，
则该沙田的面积：即△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×13×14×\frac{12}{13}$=84．
故答案为：84．

点评 本题考查了余弦定理，以及三角形面积公式的实际应用，考查了转化思想，属于基础题．