Question

5．已知函数f（x）满足条件：（I）对任意x，y∈R，f（x+y）=f（x）f（y）；（Ⅱ）对任意x，y∈R，x≠y时，$\frac{f（x）-f（y）}{x-y}$＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）今有六个函数y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$，y=x³，y=log₃x，y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，y=（$\frac{1}{3}$）^x，y=3^x，请选出最符合上述条件的函数并记此函数为y=f（x）．
①若函数g（x）定义域为R，且g（x+1）=g（x），0＜x≤1时，g（x）=f（x），当2＜x≤4时，求g（x）的解析式；
②若2＜x≤4时，h（x）=g（x）-mx-1有两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的性质进行判断即可．
（2）根据函数单调性的性质以及条件进行判断即可．
①根据函数周期性之间的关系进行求解函数的解析式即可．
②利用函数与方程之间的关系转化为两个函数有两个交点，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（1）∵对任意x，y∈R，x≠y时，$\frac{f（x）-f（y）}{x-y}$＞0．
∴函数f（x）为增函数．
若a＞b，则f（a）＞f（b）．
（2）当函数f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$，则f（x+y）=$（x+y）^{\frac{1}{3}}$，f（x）f（y）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$•y${\;}^{\frac{1}{3}}$，则$（x+y）^{\frac{1}{3}}$=x${\;}^{\frac{1}{3}}$•y${\;}^{\frac{1}{3}}$，不成立，不满足条件．
当函数f（x）=x³，则f（x+y）=（x+y）³，f（x）f（y）=x³•y³，则（x+y）³=x³•y³，不成立，不满足条件．
当函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，则f（x+y）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+y），f（x）f（y）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y，则log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x+y）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x•log${\;}_{\frac{1}{3}}$y，不成立，不满足条件．
当函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，则f（x+y）=（$\frac{1}{3}$）^x+y，f（x）f（y）=（$\frac{1}{3}$）^x•（$\frac{1}{3}$）^y=（$\frac{1}{3}$）^x+y，则f（x+y）=f（x）f（y）成立，但f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，为减函数，不满足条件．
当函数f（x）=3^x，则f（x+y）=3^x+y，f（x）f（y）=3^x•3^y=3^x+y，则f（x+y）=f（x）f（y）成立，同时也满足f（x）=3^x是增函数，满足条件．
故满足条件的函数f（x）=3^x，
①∵g（x+1）=g（x），
∴g（x）=g（x-1），
∵当0＜x≤1时，g（x）=f（x）=3^x，
∴若1＜x≤2，则0＜x-1≤1时，则g（x）=g（x-1）=3^x-1，
若2＜x≤3，则1＜x-1≤2时，则g（x）=g（x-1）=3^x-2，
若3＜x≤4，则2＜x-1≤3时，则g（x）=g（x-1）=3^x-3，
即g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x-2}，}&{2＜x≤3}\\{{3}^{x-3}，}&{3＜x≤4}\end{array}\right.$．
②若2＜x≤4时，h（x）=g（x）-mx-1有两个零点，
则由h（x）=g（x）-mx-1=0得g（x）=mx+1，
设h（x）=mx+1，则h（x）过定点（0，1），
作出函数g（x）和h（x）在2＜x≤4上的图象如图：
当直线g（x）=mx+1的斜率m=0时，此时两个函数没有公共点，
当直线g（x）=mx+1经过点A（4，3）时，此时两个函数有2个公共点，
此时4m+1=3，则4m=2，则m=$\frac{1}{2}$，
要使两个函数有两个交点，则0＜m≤$\frac{1}{2}$．
即m的取值范围是0＜m≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，以及函数与方程的关系，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．