Question

（2012•武汉模拟）已知圆M：x²+y²-8x-6y=0，过圆M内定点P（1，2）作两条相互垂直的弦AC和BD，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）

• A．20

  15

• B．16

  6

• C．5

  15

• D．40

Answer 1

分析：设圆心到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则 d₁²+d₂²=8，代入面积公式S=

1

2

×AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．

解答：解：圆M：x²+y²-8x-6y=0，
即：（x-4）²+（y-3）²=25
设圆心T（O）到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则d₁²+d₂²=TP²=OP²=8．．
四边形ABCD的面积为：
S=

1

2

×|AB|×|CD|=

1

2

×2
=2

25 -d12

×

25-d 22

≤50-（d₁²+d₂²）=42．
当且仅当d₁²=d₂²时取等号，
故选 D．

点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．