Question

如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅲ）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？

Answer 1

（Ⅰ）如下（Ⅱ）（Ⅲ）

试题分析：（I）证明：平面平面,,

平面平面=，
平面．
平面，，
又为圆的直径，，
平面．          
平面，平面平面．
（II）根据（Ⅰ）的证明，有平面，
为在平面内的射影,
因此，为直线与平面所成的角
，四边形为等腰梯形，
过点作，交于．,，则．
在中，根据射影定理，得．     
，． 与平面所成角的大小为
（Ⅲ）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设，则点的坐标为则,又
     
设平面的法向量为，则,．
即    令，解得，
由（I）可知平面，取平面的一个法向量为，依题意 与的夹角为
，即，解得
因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为．
点评：直线与平面平行、垂直的判定定理是常考知识点。另求二面角时，一般是结合向量来求解。