Question

【题目】数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为

A. (－4，0) B. (－3，-1) C. (－5，0) D. (－4，-2)

Answer 1

【答案】A

【解析】

设点的坐标为C(m，n)，由重心公式得到关于m,n的方程，然后利用外心与点B的距离与外心与点C的距离相等得到关于m,n的方程，两方程联立即可确定顶点C的坐标.

设C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心为，

代入欧拉直线有：，

整理得m－n＋4＝0　①.

AB的中点为(1，2)，kAB＝＝－2，

AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，

联立可得：，所以△ABC的外心为(－1，1)，

外心与点B的距离：，

外心与点B的距离与外心与点C的距离相等，则：

(m＋1)2＋(n－1)2＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8　②，

联立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.

当m＝0，n＝4时，B，C两点重合，舍去，

当m＝－4，n＝0时满足题意.

所以点C的坐标为(－4，0)．

本题选择A选项.